ضریب همبستگی (Correlation Coefficient) چیست؟

ضرایب همبستگی شاخص هایی هستند که قدرت رابطه خطی بین دو متغیر مختلف، یعنی xxx و yyy را نشان می دهند. اگر ضریب همبستگی خطی بزرگ تر از صفر باشد، نشان دهنده یک رابطه مثبت است. مقداری که کمتر از صفر باشد، نشان گر یک رابطه منفی خواهد بود. در نهایت، مقدار صفر نشان می دهد که هیچ رابطه ای بین دو متغیر وجود ندارد.

این مقاله به بررسی اهمیت ضرایب همبستگی خطی برای سرمایه گذاران، نحوه محاسبه کوواریانس برای سهام و چگونگی استفاده معامله گران از همبستگی برای پیش بینی بازار می پردازد. (در بازارهای دوطرفه مانند فارکس و کریپتو، درک این ضرایب به معامله گران کمک می کند تا از باز کردن پوزیشن های متضادی که اثر یکدیگر را خنثی می کنند، بپرهیزند.)

نکات کلیدی

• ضرایب همبستگی برای اندازه گیری میزان قدرت رابطه خطی بین دو متغیر استفاده می شوند.
• ضریب همبستگی بزرگ تر از صفر نشان دهنده رابطه مثبت و مقدار کمتر از صفر نشان گر رابطه منفی است.
• مقداری که نزدیک به صفر باشد، حاکی از یک رابطه ضعیف بین دو متغیر مورد بررسی است.
• همبستگی منفی (یا معکوس)، مفهومی کلیدی در ایجاد پورتفولیوهای (سبدهای سرمایه گذاری) متنوع است که می توانند در برابر نوسانات شدید بازار مقاومت بهتری از خود نشان دهند.
• از آنجا که محاسبه ضریب همبستگی زمان بر است، معمولاً داده ها برای یافتن این ضریب وارد ماشین حساب، کامپیوتر یا برنامه های آماری می شوند.

درک ضرایب همبستگی

ضریب همبستگی (ρ\rhoρ) معیاری است که میزان وابستگی حرکت دو متغیر مختلف به یکدیگر را تعیین می کند.

رایج ترین ضریب همبستگی، که از طریق همبستگی گشتاور-حاصل ضرب پیرسون (Pearson product-moment correlation) به دست می آید، رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه گیری می کند. با این حال، در یک رابطه غیرخطی، این ضریب همبستگی ممکن است همیشه معیار مناسبی برای سنجش میزان وابستگی نباشد.

محدوده مقادیر ممکن برای ضریب همبستگی بین 1.0− تا 1.0 است. به عبارت دیگر، این مقادیر نمی توانند از 1.0 بیشتر یا از 1.0− کمتر باشند. همبستگی 1.0− نشان دهنده یک همبستگی منفی کامل، و همبستگی 1.0 نشان دهنده یک همبستگی مثبت کامل است.

اگر ضریب همبستگی بزرگ تر از صفر باشد، رابطه مثبت است. برعکس، اگر مقدار آن کمتر از صفر باشد، با یک رابطه منفی روبه رو هستیم. مقدار صفر نیز نشان می دهد که هیچ رابطه ای بین دو متغیر وجود ندارد.

نکته مهم: هنگام تفسیر همبستگی، بسیار مهم است به خاطر داشته باشید که صرفاً به این دلیل که دو متغیر با هم همبستگی دارند، به این معنا نیست که یکی علت وقوع دیگری است (همبستگی به معنای علیت نیست).

تصویر شاخص نمایانگر همبستگی چندگانه دارایی ها و جریان داده های مالی در یک محیط معاملاتی و تحلیلی مدرن.

همبستگی و بازارهای مالی

در بازارهای مالی، از ضریب همبستگی برای اندازه گیری میزان ارتباط بین دو دارایی (اوراق بهادار) استفاده می شود. به عنوان مثال، زمانی که دو سهم در یک جهت حرکت می کنند، ضریب همبستگی مثبت است. برعکس، زمانی که دو سهم در جهت مخالف یکدیگر حرکت می کنند، ضریب همبستگی منفی خواهد بود.

معامله گران فارکس این مفهوم را به صورت روزمره تجربه می کنند؛ برای مثال، جفت ارزهای EUR/USD و GBP/USD معمولاً همبستگی مثبتی با یکدیگر دارند، در حالی که شاخص دلار آمریکا (DXY) و طلا (XAU/USD) در بیشتر مواقع همبستگی منفی قدرتمندی از خود نشان می دهند.

اگر ضریب همبستگی دو متغیر صفر باشد، هیچ رابطه خطی بین آن ها وجود ندارد. با این حال، این امر تنها در مورد روابط خطی صدق می کند. اگر رابطه بین دو متغیر غیرخطی باشد، ممکن است ارتباط قدرتمندی بین آن ها وجود داشته باشد اما ضریب همبستگی خطی آن ها ضعیف به دست آید.

زمانی که مقدار ρ\rhoρ نزدیک به صفر است (معمولاً بین 0.1− و 0.1+)، گفته می شود که متغیرها هیچ رابطه خطی (یا رابطه خطی بسیار ضعیفی) با یکدیگر ندارند.

برای مثال، فرض کنید قیمت یک کالا (کامودیتی) و یک سهم خاص مورد بررسی قرار گرفته و مشخص شده است که همبستگی آن ها 0.0008+ است. این عدد بدان معناست که ارتباط یا همبستگی بسیار ضعیفی بین قیمت این دو دارایی وجود دارد.

به طور کلی، سرمایه گذاران ممکن است دارایی هایی با همبستگی ضعیف یا منفی را به پورتفوی خود اضافه کنند تا در برابر پتانسیل ضرر دارایی های دیگر که ناشی از نوسانات قیمتی است، پوشش ریسک (Hedge) ایجاد کنند (در بخش «همبستگی منفی» در ادامه بیشتر به این موضوع پرداخته می شود).

محاسبه ضریب همبستگی

پیش از آنکه بتوان همبستگی را تعیین کرد، باید «کوواریانس» (Covariance) دو متغیر مورد نظر محاسبه شود. همچنین به «انحراف معیار» (Standard Deviation) هر متغیر نیاز است. ضریب همبستگی از طریق تقسیم کوواریانس بر حاصل ضرب انحراف معیار دو متغیر به دست می آید.

ρ= cov(X,Y) / σX​σY​​

انحراف معیار، معیاری برای سنجش پراکندگی داده ها نسبت به میانگین آن هاست. کوواریانس نیز معیاری است که نشان می دهد دو متغیر چگونه با هم تغییر می کنند. با این حال، از آنجا که بزرگی کوواریانس حد و مرزی ندارد، تفسیر آن دشوار است. نسخه نرمال سازی شده این آمار با تقسیم کوواریانس بر حاصل ضرب دو انحراف معیار محاسبه می شود که همان «ضریب همبستگی» است.

همبستگی مثبت

همبستگی مثبت — حالتی که در آن ضریب همبستگی بزرگ تر از ۰ است — نشان می دهد که هر دو متغیر تمایل دارند در یک جهت حرکت کنند. زمانی که ρ\rhoρ برابر با 1+ است، نشان دهنده این است که دو متغیر در حال مقایسه، یک رابطه مثبت کامل دارند؛ یعنی وقتی یک متغیر به سمت بالا یا پایین حرکت می کند، متغیر دیگر نیز دقیقاً در همان جهت و با همان شدت حرکت می کند.

هرچه مقدار ρ\rhoρ به 1+ نزدیک تر باشد، رابطه خطی قوی تر است. به عنوان مثال، فرض کنید قیمت نفت با قیمت بلیت هواپیما ارتباط مستقیمی دارد و ضریب همبستگی آن ها 0.95+ است.

رابطه بین قیمت نفت و کرایه هواپیما دارای همبستگی مثبت بسیار قوی است زیرا مقدار آن نزدیک به 1+1+1+ است. بنابراین، اگر قیمت نفت کاهش یابد، کرایه هواپیما نیز کاهش می یابد و اگر قیمت نفت افزایش یابد، قیمت بلیت هواپیما نیز بالا می رود.

در بازار ارزهای دیجیتال، بیت کوین (BTC) و اکثر آلت کوین ها مانند اتریوم (ETH) در روندهای صعودی یا نزولی بازار، همبستگی مثبت بسیار شدیدی (نزدیک به ۱+) از خود نشان می دهند. به همین دلیل با ریزش بیت کوین، کل بازار کریپتو قرمزپوش می شود.

نمایش بصری ارتباط و هماهنگی میان دارایی های شاخص مانند طلا، ارز و سهام با سبکی لوکس و مینیمالستگی منفی و ایجاد تعادل ریسک در سبد سرمایه گذاری متنوع

مقایسه سهام

در نمودار زیر، قیمت سهام یکی از بزرگترین بانک های ایالات متحده، یعنی جی پی مورگان چیس (JPM)، را با صندوق قابل معامله در بورس (ETF) بخش مالی به نام XLF مقایسه می کنیم. همان طور که حدس می زنید، سهام جی پی مورگان باید همبستگی مثبتی با کل صنعت بانکداری داشته باشد.

از اکتبر ۲۰۲۲ تا اکتبر ۲۰۲۳، می بینیم که ضریب همبستگی 0.34+ بوده است که همان طور که انتظار می رفت، سیگنالی از یک همبستگی مثبت است. با این حال، این یک همبستگی ضعیف است که دلیل آن افزایش تقریبی ۱۳ درصدی سهام JPM در مقابل افت تقریبی ۲.۸ درصدی شاخص XLF است.

درک همبستگی بین دو سهم (یا یک سهم واحد) و صنعت مربوط به آن می تواند به سرمایه گذاران کمک کند تا بسنجند که آن سهم نسبت به همتایان خود چگونه معامله می شود. تمامی انواع اوراق بهادار، از جمله اوراق قرضه، سکتورها (بخش های بازار) و ETFها، می توانند با استفاده از ضریب همبستگی با یکدیگر مقایسه شوند.

همبستگی منفی

همبستگی منفی (معکوس) زمانی رخ می دهد که ضریب همبستگی کمتر از ۰ باشد. این حالت نشانه ای از این است که هر دو متغیر در جهت مخالف یکدیگر حرکت می کنند. به طور خلاصه، هر عددی بین ۰ تا 1− به این معناست که دو دارایی در خلاف جهت یکدیگر نوسان می کنند. زمانی که ρ\rhoρ برابر با 1− باشد، گفته می شود که رابطه به طور کامل دارای همبستگی منفی است.

خلاصه کلام اینکه اگر یک متغیر افزایش یابد، متغیر دیگر با همان شدت کاهش می یابد (و برعکس). البته درجه همبستگی منفی دو دارایی ممکن است در طول زمان تغییر کند (و تقریباً هرگز پیش نمی آید که همیشه به طور دقیق و کامل با هم همبستگی منفی داشته باشند).

مثال ها

برای نمونه، فرض کنید مطالعه ای برای ارزیابی رابطه بین دمای هوای بیرون و قبض های سیستم گرمایشی انجام شده است. این مطالعه نتیجه می گیرد که رابطه منفی بین مبالغ قبض های گرمایشی و دمای هوای بیرون وجود دارد. ضریب همبستگی 0.96− محاسبه می شود. این همبستگی منفی قدرتمند بدین معناست که با کاهش دمای بیرون، هزینه قبض های گرمایشی افزایش می یابد (و برعکس).

در بازارهای جهانی، زوج ارزی USD/CHF (دلار آمریکا/فرانک سوئیس) و EUR/USD (یورو/دلار آمریکا) یک مثال کلاسیک از همبستگی منفی هستند. معامله گران حرفه ای فارکس می دانند که خرید همزمان این دو جفت ارز می تواند به معنای خنثی کردن سود و زیان (هدج کردن) باشد.

سرمایه گذاری

در زمینه سرمایه گذاری، همبستگی منفی لزوماً به این معنا نیست که باید از آن اوراق بهادار اجتناب کرد. ضریب همبستگی می تواند با گنجاندن ترکیبی از سرمایه گذاری هایی که همبستگی منفی یا پایینی با بازار سهام دارند، به سرمایه گذاران در تنوع بخشی (Diversification) به پورتفوی خود کمک کند. به زبان ساده، هنگام کاهش ریسک نوسانات در یک پورتفو، گاهی اوقات تضادها باعث جذابیت می شوند.

به عنوان مثال، فرض کنید یک پورتفوی متعادل ۱۰۰ هزار دلاری دارید که ۶۰ درصد آن در سهام و ۴۰ درصد آن در اوراق قرضه سرمایه گذاری شده است. در سالی که اقتصاد عملکرد قدرتمندی دارد، بخش سهام پورتفوی شما ممکن است بازدهی ۱۲ درصدی ایجاد کند در حالی که بخش اوراق قرضه به دلیل افزایش نرخ بهره (که به معنای کاهش قیمت اوراق قرضه است) بازدهی ۲- درصدی داشته باشد.

بنابراین، بازدهی کلی پورتفوی شما ۶.۴ درصد خواهد بود ((−2%×0.4)+(12%×0.6) ). در سال بعد، از آنجا که اقتصاد به شدت کُند شده و نرخ های بهره کاهش می یابند، پورتفوی سهام شما ممکن است بازدهی ۵- درصدی داشته باشد در حالی که اوراق قرضه شما بازدهی ۸ درصدی را ثبت می کنند که در مجموع بازدهی کلی ۰.۲ درصدی را برای پورتفوی شما به ارمغان می آورد.

حال اگر به جای یک پورتفوی متعادل، سبد شما ۱۰۰٪ از سهام تشکیل شده بود چه؟ با استفاده از همان مفروضات بازدهی، پورتفوی تمام سهام شما در سال اول بازدهی ۱۲ درصدی و در سال دوم بازدهی ۵- درصدی می داشت. این اعداد به وضوح نسبت به بازدهی ۶.۴ درصدی و ۰.۲ درصدی پورتفوی متعادل، نوسانات به مراتب بیشتری (Volatility) دارند.

تمرکز بر فضای محاسباتی، نرم افزارهای تحلیل کمی و استخراج ماتریس های آماری.

ضریب پیرسون در برابر رگرسیون خطی ساده

هم محاسبه ضریب پیرسون و هم رگرسیون خطی پایه، روش هایی برای تعیین نحوه ارتباط خطی متغیرهای آماری هستند. با این حال، این دو روش با یکدیگر تفاوت دارند. ضریب پیرسون معیاری برای سنجش قدرت و جهت ارتباط خطی بین دو متغیر است، بدون آنکه فرضیه ای مبنی بر وجود رابطه علیت (Causality) در میان باشد.

به عبارتی، این ضریب تنها «همبستگی» را نشان می دهد، نه «علیت» را. ضرایب پیرسون بین 1+ تا 1− متغیر هستند که 1+ نشان دهنده همبستگی مثبت، 1− نشان دهنده همبستگی منفی و ۰ نشان دهنده عدم وجود رابطه است.

رگرسیون خطی ساده، رابطه خطی بین یک «متغیر پاسخ» (که با yyy نشان داده می شود) و یک «متغیر توضیحی» (که با xxx نشان داده می شود) را با استفاده از یک مدل آماری توصیف می کند. مدل های آماری برای انجام پیش بینی ها مورد استفاده قرار می گیرند.

نکته کاربردی: با استفاده از نرم افزارهایی مانند اکسل (Excel)، محاسبه همبستگی را به جای رگرسیون خطی ساده سازی کنید.

راه های محاسبه ضریب همبستگی

همبستگی ترکیبی از چندین مفهوم مهم و مرتبط آماری است؛ یعنی «واریانس» و «انحراف معیار». واریانس میزان پراکندگی یک متغیر حول میانگین است و انحراف معیار، ریشه دوم (جذر) واریانس است.

فرمول محاسبه به این شکل است:

r=[n∑x2−(∑x)2][n∑y2−(∑y)2]​n(∑xy)−(∑x)(∑y)​

انجام این محاسبات به صورت دستی بسیار پیچیده و درگیرکننده است، بنابراین از نرم افزارهایی مانند اکسل یا برنامه های آماری به عنوان ابزاری برای محاسبه این ضریب استفاده می شود.

یافتن همبستگی روی ماشین حساب های مهندسی

از ماشین حساب های نمودارکش (مانند مدل TI-84) نیز می توان برای محاسبه ضریب همبستگی استفاده کرد. دستورالعمل های زیر توسط پلتفرم Statology ارائه شده است.

مرحله ۱: روشن کردن Diagnostics (عیب یابی)

شما تنها یک بار نیاز دارید این مرحله را روی ماشین حساب خود انجام دهید. پس از آن، می توانید همیشه از مرحله ۲ کار را شروع کنید. اگر این کار را انجام ندهید، هنگام اجرای تابع رگرسیون خطی، مقدار rrr (ضریب همبستگی) روی صفحه نمایش داده نخواهد شد.

کلید [2nd] و سپس [0] را فشار دهید تا وارد کاتالوگ ماشین حساب شوید. به پایین اسکرول کنید تا «diagnosticsOn» را ببینید.

دکمه Enter را فشار دهید تا روی صفحه ماشین حساب عبارت «Done» ظاهر شود.

تکرار این نکته مهم است: هرگز نیازی نیست این کار را دوباره انجام دهید مگر اینکه ماشین حساب خود را ریست کنید.

مرحله ۲: وارد کردن داده ها

با فشردن کلید [STAT] و سپس انتخاب گزینه 1:Edit، داده های خود را وارد ماشین حساب کنید. برای ساده تر شدن کار، باید تمام «داده های x» خود را در L1 و تمام «داده های y» را در L2 وارد کنید.

مرحله ۳: محاسبه

زمانی که داده ها را وارد کردید، حالا باید به بخش [STAT] بروید و سپس منوی CALC را در بالای صفحه انتخاب کنید. در نهایت گزینه 4:LinReg را انتخاب کرده و Enter را بزنید.

کار تمام است! حالا به سادگی می توانید ضریب همبستگی را مستقیماً از روی صفحه نمایش (که همان rrr است) بخوانید. به یاد داشته باشید، اگر rrr روی ماشین حساب شما نشان داده نشد، به این معناست که بخش diagnostics باید روشن شود. این همان قسمتی در ماشین حساب است که در آن معادله رگرسیون خطی و ضریب تعیین (Coefficient of determination) را نیز پیدا خواهید کرد.

نتیجه گیری

ضریب همبستگی خطی می تواند در تعیین رابطه بین یک دارایی سرمایه گذاری شده با کلیت بازار یا سایر اوراق بهادار بسیار مفید باشد. این ضریب غالباً برای پیش بینی بازدهی بازار سهام استفاده می شود. این معیار آماری به روش های مختلفی، به ویژه در صنعت مالی، کاربرد دارد.

برای مثال، می تواند در تعیین اینکه عملکرد یک صندوق سرمایه گذاری مشترک (Mutual Fund) در مقایسه با شاخص مرجع خود (Benchmark Index) چگونه است، راهگشا باشد. یا می توان از آن برای تشخیص رفتار یک صندوق نسبت به صندوق یا کلاس دارایی دیگر استفاده کرد. با اضافه کردن یک صندوق سرمایه گذاری با همبستگی پایین یا منفی به یک پورتفوی موجود، می توان به مزایای فوق العاده ی تنوع بخشی دست یافت.

سؤالات متداول

1. 1. ضریب همبستگی خطی چیست؟

      ‌ضریب همبستگی خطی عددی است که از داده های مفروض محاسبه می شود و قدرت رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه گیری می کند.

   2. منظور از همبستگی خطی چیست؟

      ‌ضریب همبستگی مقداری بین 1− و 1+ است. ضریب همبستگی 1+ نشان دهنده یک همبستگی خطی مثبت کامل است. یعنی با افزایش متغیر x، متغیر y نیز افزایش می یابد. و با کاهش متغیر x، متغیر y نیز افت می کند. ضریب همبستگی 1− نشان دهنده یک همبستگی خطی منفی کامل است. یعنی با افزایش متغیر x، متغیر z کاهش می یابد و با کاهش متغیر x، متغیر z افزایش پیدا می کند.

   3. چه عددی به عنوان یک ضریب همبستگی قوی در نظر گرفته می شود؟

      ‌به طور کلی، هرچه یک ضریب همبستگی به 1.0 (یا 1.0−) نزدیک تر باشد، گفته می شود که رابطه بین دو متغیر قوی تر است. اگرچه تعریف دقیقی برای اینکه چه چیزی یک همبستگی را «قوی» می سازد وجود ندارد، اما معمولاً ضریب بالاتر از 0.75 (یا کمتر از 0.75−) به عنوان درجه بالایی از همبستگی در نظر گرفته می شود، در حالی که عدد بین 0.3− و 0.3 نشانه ای از همبستگی ضعیف یا عدم همبستگی است. در علوم تجربی، محققان گاهی اوقات یک مطالعه را تکرار می کنند تا ببینند آیا می توان به همان درجه بالای همبستگی مجدداً دست یافت یا خیر.